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5학년에서 배우는 합동과 대칭은 이후의 도형·좌표·변환(이동·회전·대칭이동)의 기초가 된다. 말은 어렵지만 뜻은 간단하다. 합동은 “크기도 모양도 똑같다”는 뜻이고, 대칭은 “거울이나 회전으로 겹쳐지는 규칙”을 말한다. 아래 내용을 차례대로 읽으면 용어·성질·판별 방법을 한 번에 정리할 수 있다.
합동의 뜻
두 도형이 크기와 모양이 완전히 일치하여, 한 도형을 밀고(평행이동), 돌리고(회전), 뒤집어(대칭이동) 겹치면 서로 포개지는 관계를 합동이라고 한다. 눈으로는 “투명종이를 덮어 정확히 포개지면 합동”이라고 이해하면 쉽다. 방향이 달라도, 좌우가 바뀌어도, 길이와 각의 크기가 똑같다면 합동이다.
합동인 도형의 성질
- 합동은 “같다”는 말로 끝나지 않는다. 무엇이 같은지를 분명히 기억하자.
- 대응변의 길이가 같다. 두 도형에서 서로 짝지어지는 변(대응변)은 길이가 완전히 일치한다.
- 대응각의 크기가 같다. 모서리에서 만나는 각도(대응각)가 모두 같다.
- 둘레와 넓이가 같다. 크기가 동일하므로 둘레(둘레길이)와 넓이도 같다.
- 모양은 같은데 방향은 달라질 수 있다. 뒤집거나 회전하면 왼손–오른손이 바뀌어 보일 수 있지만 여전히 합동이다.
- 거리와 각을 보존한다. 합동을 만들어 내는 이동·회전·대칭이동을 통틀어 등거리 변환이라고 부르며, 이 변환에서는 길이와 각의 크기가 변하지 않는다.
- 중점·평행·수직 같은 관계가 그대로 유지된다. 예를 들어 한 도형에서 두 변이 평행이라면, 합동 변환 후에도 그 대응변은 평행이다.
- 삼각형의 모든 요소가 일치한다. 세 변, 세 각, 높이·중선·각의 이등분선의 길이까지 모두 짝을 이루어 같다.
※ 한 줄 기억: 합동 = 길이·각·넓이 보존 + 위치·방향만 변할 수 있음.
합동을 판별하는 쉬운 방법
초등 수준에서는 겹쳐 보기와 측정이 기본이다.
- 트레이싱 페이퍼(얇은 종이) 사용: 한 도형을 베껴서 밀고·돌리고·뒤집어 다른 도형 위에 정확히 포개지면 합동이다.
- 눈금자·각도기 측정: 대응변의 길이와 대응각의 크기를 재서 모두 같으면 합동이다.
- 격자(모눈종이) 방법: 꼭짓점 좌표가 같은 차이만큼 이동했는지, 회전·대칭으로 겹치는지 확인한다.
- 삼각형 특수 팁: 세 변이 같거나, 두 변과 끼인 각이 같으면 두 삼각형은 합동이라고 볼 수 있다(중학에서 정식으로 배운다). 초등에서는 “세 변 길이와 각이 모두 같아 보이면 합동” 정도로 감각을 잡자.
대칭의 큰 그림
대칭은 “도형의 한 부분을 규칙적으로 변환했을 때 원래 도형과 겹쳐지는 성질”이다. 초등에서는 선대칭(거울대칭)과 점대칭(180° 회전대칭)을 중심으로 배운다. 대칭으로 나뉜 두 부분은 서로 합동이다. 즉, 대칭은 합동을 만들어 내는 특별한 변환이라고 이해하면 된다.
선대칭의 정의
선대칭(거울대칭)은 어떤 직선 l을 기준으로 도형을 접었을 때 양쪽이 정확히 포개지는 상태를 말한다. 기준이 되는 직선을 대칭선(대칭축)이라고 한다. 실험으로는 도형을 종이에 그리고 대칭선에서 접어 양쪽이 겹치면 선대칭이라고 판단한다.
선대칭의 성질
- 선대칭 도형에는 다음과 같은 특징이 항상 성립한다.
- 대칭선은 대응점들을 잇는 선분의 수직이등분선이다. 점 A와 그 거울점 A′를 이으면, 대칭선은 AA′의 한가운데를 지나고 직각으로 만난다. 두 점은 대칭선에서의 거리가 같다.
- 길이와 각의 크기가 보존된다. 선대칭은 등거리 변환이므로 거리·각·넓이가 변하지 않는다.
- 방향(왼–오)이 뒤집힌다. 글자를 비춰 보면 이해가 쉽다. 손모양도 좌우가 바뀌어 보인다.
- 대칭선의 개수는 도형마다 다르다. 정사각형은 4개, 직사각형은 2개, 정삼각형은 3개, 원은 무한히 많다. 한편 평행사변형(직사각형·마름모 제외)은 선대칭이 없다.
- 대칭선 위의 점은 자기 자신으로 간다. 즉, 대칭선에 놓인 점·변·각은 변환해도 그 자리 그대로 남는다.
선대칭을 생활에서 찾기
나비의 왼쪽과 오른쪽 날개, 사람의 얼굴(완전하진 않지만), 하트 모양, 교통 표지 일부, 한복의 깃, 건물 정면의 기둥 배열 등은 선대칭의 좋은 예다. 종이접기도 선대칭의 대표 활동이다. 접은 선이 곧 대칭선이다.
점대칭의 정의
점대칭은 어떤 점 O를 중심으로 도형을 반 바퀴(180°) 돌렸을 때 스스로와 정확히 겹치는 성질을 말한다. 이 점을 대칭의 중심(점대칭의 중심)이라고 한다. 직관적으로는 “도형을 거꾸로 뒤집어도 똑같아 보인다”라고 이해하면 된다.
점대칭의 성질
- 점대칭 도형은 선대칭과 구별되는 뚜렷한 규칙을 가진다.
- 중심 O는 모든 대응점 쌍의 정확한 가운데이다. 임의의 점 A와 대응점 A′를 이으면, O는 선분 AA′의 중점이 된다.
- 180° 회전 대칭과 같다. 점대칭 변환은 도형 전체를 중심 O 둘레로 반 바퀴 돌리는 것과 동일하다.
- 길이·각·넓이가 보존된다. 역시 등거리 변환이기 때문이다.
- 방향(왼–오)이 보존된다. 선대칭과 달리 좌우가 뒤바뀌지 않는다.
- 점대칭이지만 선대칭이 아닐 수 있다. 평행사변형은 중심(두 대각선의 교점)을 기준으로 점대칭이지만, 선대칭은 없다. 반대로 정사각형은 선대칭·점대칭을 모두 가진다.
- 대칭 중심 위의 점은 자기 자신으로 간다. 중심에 얹힌 점은 움직이지 않는다.
도형별 대칭 요약 감각
- 정삼각형: 선대칭 3개, 점대칭 없음(180° 돌리면 뒤집히지 않음).
- 정사각형: 선대칭 4개(가로·세로·두 대각선), 점대칭 1개(정중앙).
- 직사각형: 선대칭 2개(가로·세로), 점대칭 1개(중앙).
- 마름모(일반): 선대칭 2개(두 대각선), 점대칭 1개(대각선 교점).
- 평행사변형(일반): 선대칭 0개, 점대칭 1개(대각선 교점).
- 원: 선대칭 무한(지름이 모두 대칭선), 점대칭 무한(원점 아무 곳을 중심으로 180° 회전하면 동일).
- 등변삼각형: 선대칭 1개(꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선), 점대칭 없음.
- 직각이등변삼각형: 선대칭 1개(두 직각변의 이등분선), 점대칭 없음.
합동과 대칭의 관계
대칭은 합동을 만드는 특수한 방법이다. 선대칭으로 나뉜 양쪽 조각은 서로 거울 이미지의 합동, 점대칭으로 나뉜 양쪽 조각은 180° 회전 합동이다. 따라서 대칭을 찾는 문제는 곧 합동 도형을 찾는 문제와 연결된다. 예를 들어 등변삼각형에서 꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선이 대칭선이므로, 두 작은 삼각형은 합동이고 밑각이 서로 같다는 사실도 자연스럽게 얻어진다.
자주 하는 오해 바로잡기
“대칭이면 모양이 똑같으니 아무렇게나 겹친다?”
아니다. 선대칭은 반드시 어떤 직선을 기준으로 접었을 때 포개져야 하고, 점대칭은 한 점을 중심으로 180° 회전할 때 겹쳐야 한다. 기준이 없다면 대칭이 아니다.
“선대칭이면 점대칭도 항상 된다?”
아니다. 정삼각형은 선대칭 3개가 있지만 점대칭은 없다.
“점대칭은 거울대칭과 같다?”
아니다. 거울은 선대칭이다. 점대칭은 반 바퀴 회전이다.
“합동이면 방향까지 같아야 한다?”
아니다. 합동은 길이·각·넓이가 같으면 된다. 좌우가 바뀌거나 위아래가 뒤집혀도 합동일 수 있다.
“평행사변형은 대칭이 없다?”
선대칭은 없지만 점대칭은 있다. 중심은 두 대각선의 교점이다.
활동으로 이해 넓히기
- 접어서 확인하기: 도형을 그리고 후보 직선을 그은 뒤 실제로 접어 겹쳐지는지 본다. 겹치면 그 직선은 대칭선이다.
- 핀·실험(점대칭): 종이에 도형을 그리고 중심 후보 점을 찍은 뒤, 핀을 꽂아 종이를 180° 돌려 겹치는지 확인한다.
- 모눈종이 합동 놀이: A도형을 그린 뒤, 평행이동·회전·대칭이동으로 B도형을 만들고 대응점을 표시한다. 길이와 각이 변하지 않는 것을 눈으로 확인한다.
- 실물 탐색: 집 안의 물건·로고에서 선대칭/점대칭을 찾아 사진으로 기록하고 이유를 문장으로 설명한다.
- 그림 완성하기: 반쪽만 그린 도형을 주고 선대칭·점대칭으로 나머지 반쪽을 완성하게 한다. 정확히 맞춰 그릴수록 합동 감각이 좋아진다.
문제 풀이에 바로 쓰는 문장틀
- 합동: “두 도형을 평행이동·회전·대칭이동하여 포개면 겹친다. 따라서 대응변의 길이와 대응각의 크기가 같다.”
- 선대칭: “대칭선은 대응점들을 잇는 선분의 수직이등분선이다. 두 점은 대칭선에서의 거리가 같다.”
- 점대칭: “대칭의 중심은 모든 대응점 쌍의 중점이다. 도형을 중심을 기준으로 180° 회전하면 자기 자신과 겹친다.”
- 등변삼각형 예: “꼭짓점과 밑변의 중점을 잇는 선이 대칭선이므로 양쪽 작은 삼각형은 합동. 따라서 밑각의 크기가 같다.”
생활 속 응용
거울을 이용한 로고 디자인, 인쇄물의 양면 레이아웃, 도로 표지판의 균형감, 건축물 정면의 기둥 배열은 선대칭 감각이 있어야 안정적으로 보인다. 바둑판·체스판·타일 패턴에서 자주 보이는 반복·회전·대칭은 모두 합동 변환의 조합이다. 미술 시간의 종이접기, 도안 좌우 맞추기, 대칭무늬 꾸미기는 수학과 예술이 만나는 자리다.
핵심 정리
- 합동: 크기와 모양이 완전히 같아 밀기·돌리기·뒤집기로 포개진다. 대응변의 길이·대응각의 크기·둘레·넓이가 모두 같다.
- 선대칭: 어떤 직선을 기준으로 접어 포개지는 성질. 대칭선은 대응점 선분의 수직이등분선이고, 좌우가 바뀐다. 도형에 따라 대칭선의 개수는 다르다.
- 점대칭: 어떤 점을 중심으로 180° 회전하면 겹치는 성질. 중심은 모든 대응점 쌍의 중점이며, 좌우는 바뀌지 않는다.
- 관계: 대칭은 합동을 만드는 변환이다. 대칭으로 나뉜 두 부분은 항상 합동이다.
마무리
합동은 “같음”의 언어이고, 대칭은 “질서”의 언어다. 길이와 각이 변하지 않는 변환을 이해하면 도형 문제는 절반 이상 풀린다. 오늘은 종이 한 장을 접어 대칭선을 찾아보고, 내일은 투명종이로 합동을 포개 보자. 눈으로 겹쳐 본 경험이 많아질수록, 교과서의 문장은 훨씬 쉬워진다.