1. 들어가기: 사각형의 기본
사각형은 네 개의 선분으로 둘러싸인 도형입니다. 꼭짓점이 4개, 변이 4개, 그리고 내각의 합은 항상 360°가 됩니다. 이 기본 성질을 기억해 두면 각을 구하는 문제나 도형 판별 문제에서 큰 도움이 됩니다.
2. 수직과 수선
1) 수직의 뜻
두 직선이 만나서 직각(90°)을 이룰 때, 두 직선을 서로 수직이라고 합니다.
기호로는⊥ 를 사용해 AB⊥CD처럼 씁니다.
수직이면 만나는 각 네 개가 모두 90°가 됩니다.
2) 수선의 뜻
어떤 직선에 직각으로 만나는 다른 직선을 그 직선의 수선이라고 합니다.
점 P에서 선 ℓ에 내린 수선을 점 P에서 ℓ에 내린 수선이라고 표현합니다.
수선을 내릴 때 직각표(네모 표시)를 꼭 그려 90°임을 표시해 주세요.
3) 생활 속 수직
바닥과 벽, 책상 다리와 바닥, 교실 칠판의 모서리, 스마트폰 화면 모서리
횡단보도의 세로·가로선, 창문틀의 세로·가로 프레임
4) 자주 나오는 오개념
“직각처럼 보이면 수직”: 보기만으로는 오해하기 쉬워요. 삼각자(직각자)나 각도기로 확인!
“수선은 한 줄만 가능”: 한 점에서 같은 직선에 내릴 수 있는 수선은 딱 한 줄만 존재합니다(유일성).
5) 빠른 활동
교실에서 수직인 것 5가지 찾기
점 하나와 직선 하나가 주어졌을 때, 삼각자로 수선 내리기 연습
3. 평행선과 평행선 사이의 거리
1) 평행의 뜻
두 직선이 아무리 길게 그어도 만나지 않으면 평행이라고 합니다.
기호로는∥ 를 사용해 AB∥CD 처럼 씁니다.
철로의 레일, 공책의 가로줄, 줄무늬 셔츠의 줄 등에서 쉽게 볼 수 있어요.
2) 평행선 사이의 거리(중요 정의)
두 평행선 사이의 거리는 한 직선에서 다른 직선으로 내린 수선의 길이로 정의합니다.
왜 수선이어야 할까요? 비스듬한 선의 길이는 각도에 따라 달라지지만, 수선의 길이는 언제나 일정하기 때문입니다.
즉, 평행선 사이의 거리는 어디에서 재도 항상 같다는 뜻이에요.
3) 생활 속 평행과 거리
차선 사이의 간격, 기차 레일 간격, 책장 선반 사이의 간격
건축에서 벽과 벽 사이 간격을 일정하게 유지하는 것은 평행과 수선 개념이 핵심
4) 오개념 점검
“자로 아무 방향으로 재도 거리”: ❌, 반드시 수선 방향(직각)으로 재야 합니다.
“평행선 사이의 거리도 점점 변한다”: ❌, 평행이면 수선 길이가 항상 일정합니다.
5) 활동
두 평행선을 그리고, 여러 점에서 수선을 내려 모든 수선의 길이가 같음을 자로 확인
4. 평행사변형
1) 정의
마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행인 사각형을 말합니다.
2) 성질(핵심 5가지)
- 대변(마주보는 변)끼리 평행
- 대변의 길이가 서로 같다
- 대각의 크기가 서로 같다
- 이웃한 내각의 합은 180° (한 각이 커지면 옆각이 그만큼 작아짐)
- 대각선이 서로의 중점을 이등분한다
3) 생활 예시
기울어진 액자틀, 평행사변형 모양의 책받침, 건축 보강 구조(브레이싱)
4) 판별 팁(거꾸로 사용!)
- 한 쌍의 대변이 평행이고 길이도 같으면 평행사변형
- 대각선이 서로의 중점을 이등분하면 평행사변형
- 대각이 서로 같으면 평행사변형
5) 오개념
“평행사변형은 직각이 있다”: 직각일 수도 있지만 보통 기울어진 모양입니다. 직각이면 직사각형이 됩니다.
6) 활동
같은 길이의 막대 4개로 평행사변형 만들기 → 모서리 각이 달라져도 대변 평행은 유지됨을 관찰
5. 사다리꼴
1) 정의
한 쌍의 대변만 평행인 사각형입니다. (한 쌍은 평행, 다른 한 쌍은 평행 아님)
2) 핵심 요소
- 평행한 두 변: 밑변(아래), 윗변(위)
- 밑변과 윗변 사이의 높이: 두 평행선 사이의 수선 길이
3) 특별한 사다리꼴
- 등변사다리꼴: 평행하지 않은 두 변(날개)이 서로 길이가 같고, 밑각과 윗각이 각각 같습니다. 대각선 길이도 같습니다.
- 직각사다리꼴: 한 쌍의 이웃각이 직각(90°) 입니다. 한쪽 날개가 밑변과 수직이 되는 형태.
4) 생활 예시
사다리 옆모양, 다리 난간, 책상 다리 디자인, 광고판 프레임
5) 오개념
“윗변이 가늘면 삼각형?”: 밑변과 윗변이 둘 다 길이가 있으면 삼각형이 아니라 사다리꼴입니다.
“높이는 비스듬히 재도 됨?”: ❌, 반드시 밑변과 윗변에 수직인 거리가 높이입니다.
6) 활동
다양한 사다리꼴을 그려서 높이(수선) 를 실제로 내려보고 길이 비교
6. 마름모
1) 정의
네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 꼭 직각일 필요는 없습니다.
2) 성질
- 네 변이 모두 같다
- 대각선이 서로 수직(직각)으로 교차
- 대각선이 각을 이등분(꼭짓점 각을 반으로 나눔)
- 대각선은 서로의 중점을 지나 교차
3) 생활 예시
연모양, 다이아몬드 패턴, 카펫/타일 무늬
4) 오개념
“마름모=정사각형”: ❌, 정사각형은 마름모의 특별한 경우(네 변 같고 네 각이 직각). 일반 마름모는 직각이 아닐 수 있어요.
5) 활동
종이접기로 마름모 접기 → 대각선이 수직이고 각을 이등분하는지 자와 각도기로 확인
7. 직사각형
1) 정의
네 각이 모두 직각(90°) 인 사각형입니다.
2) 성질
- 네 각이 모두 직각
- 마주보는 변의 길이가 서로 같음
- 대각선 길이가 서로 같음
- 대각선은 서로의 중점을 이등분
3) 생활 예시
교과서, 공책, 칠판, 창문, 모니터, 스마트폰 화면
4) 오개념
“네 변도 모두 같아야 함?”: ❌, 그건 정사각형. 직사각형은 마주보는 변만 길이가 같으면 돼요.
5) 활동
교실 물건에서 직사각형 찾기 → 모서리에 직각 표시 그려 보기
대각선 두 개를 자로 재서 같은지 확인
8. 정사각형
1) 정의
네 변이 모두 같고, 네 각이 모두 직각인 사각형입니다.
2) 성질
- 직사각형이면서 마름모
- 평행사변형의 성질을 모두 가짐(대변 평행·길이 같음, 대각 같음, 대각선 중점 이등분)
- 대각선 길이가 같고 서로 직각이며, 각을 이등분
3) 생활 예시
바둑판/체스판 칸, 정사각 메모지, 정육면체 각 면
4) 오개념
“정사각형은 직사각형이 아님”: ❌, 정사각형은 직사각형의 특별한 경우입니다(네 각 직각).
“정사각형은 마름모가 아님”: ❌, 정사각형은 마름모의 특별한 경우입니다(네 변 같음).
5) 활동
같은 길이 나무젓가락 4개로 정사각형 만들기 → 대각선 재서 서로 같고 직각인지 확인
9. 관계 한눈에 정리(말로 도식화)
- 정사각형 ⊂ 직사각형 (네 각이 직각이고, 네 변이 같으면 정사각형)
- 정사각형 ⊂ 마름모 (네 변이 모두 같고, 네 각이 직각이면 정사각형)
- 직사각형 ⊂ 평행사변형 (대변 평행, 대변 길이 같음)
- 마름모 ⊂ 평행사변형 (대변 평행, 대변 길이 같음)
⇒ 정사각형은 직사각형이자 마름모이자 평행사변형입니다.
10. 실전 오개념 체크리스트
수직 표시는 꼭 90°
직각 표시 없이 “대충 네모 같아요”는 금지. 표시 필수!
평행선 사이의 거리는 수선 길이
비스듬한 길이는 거리 아님. 직각(수선)로만 잰다.
사다리꼴 높이는 수선
밑변과 윗변 사이 직각 거리만이 높이.
정사각형의 포함 관계
정사각형은 직사각형 + 마름모의 모든 성질 포함.
평행사변형의 대각선
서로 중점에서 이등분. 길이가 같다는 말은 직사각형일 때만!
11. 손으로 배우는 활동 아이디어
- 직각 탐정 놀이: 삼각자 들고 교실·집에서 직각 찾기+스티커 붙이기
- 평행선·거리 실험: 두 평행선을 그리고 여러 점에서 수선을 내려 항상 같은지 자로 재보기
- 사다리꼴 높이 재기: 다양한 사다리꼴을 그려 수선 높이만 골라 재기
- 도형 카드 분류: 사다리꼴/평행사변형/마름모/직사각형/정사각형 카드 섞어 성질별로 분류
- 변형 관찰: 같은 막대 4개로 사각형 만들고 각을 바꿔 보며 평행, 대각선 성질 확인
- 도형 스케치북: 한 페이지에 한 도형씩 정의·성질·예시·그림 정리
12. 단원 퀵 퀴즈(개념 점검)
수직이란 무엇인가요?
→ 두 직선이 만나 직각(90°)을 이루는 관계.
평행선 사이의 거리는 어떻게 재나요?
→ 한 직선에서 다른 직선으로 내린 수선의 길이로 잰다.
평행사변형의 대각선에는 어떤 성질이 있나요?
→ 서로 중점에서 이등분한다.
사다리꼴의 높이는 무엇인가요?
→ 밑변과 윗변 사이의 수선 길이.
마름모의 대각선에는 어떤 공통점이 있나요?
→ 서로 수직이고, 각을 이등분한다.
직사각형의 대각선은 어떤가요?
→ 길이가 서로 같고, 서로의 중점을 지난다.
정사각형은 어떤 도형들의 특별한 경우인가요?
→ 직사각형(네 각 직각)이며 마름모(네 변 같음)이기도 하다. 따라서 평행사변형의 성질도 모두 가진다.
13. 마무리: ‘직각–수선–평행’이 사각형을 만든다
이번 단원에서 배운 핵심 어휘를 한 줄에 모으면 이렇게 됩니다.
직각(=수직)과 수선은 각과 거리를 정밀하게 만들어 주고, 평행은 모양을 안정적으로 유지하게 합니다. 이 셋이 만나면 평행사변형·사다리꼴·마름모·직사각형·정사각형을 정확히 구분하고, 스스로 판별할 수 있게 됩니다.
아이들이 직각 표시에 익숙해지고, 수선으로 거리 재기를 생활 속에서 자주 해 보면, 어느새 사각형의 성질을 눈으로 보고 손으로 증명할 수 있어요. 이런 기초가 쌓이면, 중학교 좌표기하나 고등학교 도형 증명도 부담이 크게 줄어듭니다.