각의 개념부터 다시 생각해보기
우리는 ‘각’이라는 말을 자주 씁니다. 삼각형의 각, 직각, 예각, 둔각처럼 말이죠.
하지만 정확히 말하면, 각은 한 점에서 만나는 두 개의 반직선 사이의 벌어진 정도를 의미합니다.
예를 들어, 한 점 O에서 출발해 오른쪽으로 가는 선과 위쪽으로 향하는 선이 있을 때, 그 둘이 이루는 공간의 크기가 바로 ‘각’입니다.
이때 그 공간이 얼마나 벌어졌는지를 수치로 나타낸 것이 각의 크기, 즉 도(°)입니다.
보통은 0도부터 시작해서 최대 360도까지 측정할 수 있고,
각이 넓을수록 더 많이 벌어진 상태라고 할 수 있어요.
각의 기본 단위는 왜 '360도'일까?
이건 역사적인 이유에서 비롯됩니다. 고대 바빌로니아에서는 수를 60진법으로 계산했는데,
그 영향으로 하늘을 기준으로 1년(약 360일)을 360도로 나눠 사용한 것이 지금까지 전해져 내려온 것이죠.
그래서 오늘날 우리가 사용하는 각의 단위는 원 하나를 360도로 나눈 것입니다.
즉, 완전한 원 = 360도,
그 반은 180도,
그 반은 90도,
이렇게 나누게 되었죠.
직선이 왜 180도일까?
직선은 겉보기에 단순해 보입니다.
하지만 수학적으로는 아주 중요한 개념을 담고 있어요.
우리가 알고 있는 ‘직선’은 끝이 없이 일직선으로 뻗어 있는 선입니다.
이 직선을 각도로 표현하면 도대체 얼마나 될까요?
이 질문에 대한 대답은, 바로 180도입니다.
그 이유를 하나하나 따져볼게요.
반원을 펴면 직선이 된다
먼저 원을 생각해볼까요?
원을 가운데에서 딱 반으로 자르면 반원이 됩니다.
이 반원에서 중심을 기준으로 양쪽 끝까지 선을 그리면 중심에서 양 끝을 향한 두 선 사이의 각, 즉 중심각은 180도입니다.
왜냐하면 전체 원이 360도이니까, 그 반은 당연히 180도인 거죠.
이제 이 반원을 손으로 쭉 펴서 평평하게 만든다고 상상해보세요.
그럼 그 모양은 곡선이 아니라, 직선이 됩니다.
즉, 반원을 펴면 직선이 되며, 이 직선에서의 각은 바로 180도입니다.
삼각형으로도 확인해보자: 삼각형 내각의 합은 180도
또 다른 방법은 삼각형의 내각의 합을 이용하는 것입니다.
모든 삼각형은 세 각의 합이 언제나 180도입니다.
이것은 수학적으로 엄청나게 중요한 사실인데,
이를 통해서도 직선이 180도라는 사실을 확인할 수 있어요.
예를 들어, 삼각형 ABC를 그렸다고 해보겠습니다.
그 삼각형의 꼭짓점 A, B, C에서 만들어지는 세 각을 더하면 180도입니다.
이제 삼각형의 한 꼭짓점을 기준으로, 다른 두 각을 바깥쪽 직선 위로 옮겨서 나란히 놓아본다고 생각해보세요.
그렇게 세 각을 일렬로 나열하면 정확히 직선 한 줄을 채우게 됩니다.
즉, 삼각형의 세 내각을 붙이면 직선 하나가 되고, 그 직선은 180도가 되는 거죠.
각도기로 재보면 정말 180도인가?
실제로 각도기로 재 보면 확실히 알 수 있어요.
각도기는 원의 반 모양으로 생겼고, 시작은 0도, 끝은 180도입니다.
즉, 각도기의 한 바퀴 절반이 180도라는 뜻이고,
그건 직선 한 줄 위의 각이라는 거예요.
직선을 각도기 위에 올려서 한쪽을 0도에 맞추고,
다른 끝을 보면 항상 180도라는 숫자에 닿아 있을 거예요.
이것은 수학적 계산이 아니라 시각적으로도 명확한 증거입니다.
수학적 정의와 논리로도 정리해보자
조금 더 수학적으로 말하면,
‘직선’ 위에서 어떤 점 O를 중심으로 양쪽으로 반직선을 그렸을 때,
그 두 반직선은 서로 직선상에 놓인 반대 방향의 선입니다.
이렇게 두 반직선 사이에 생긴 각은 "평각", 즉 180도라고 정의됩니다.
이 정의는 임의의 위치에서도 동일하게 적용됩니다.
예를 들어, A—O—B와 같은 직선에서 ∠AOB는 항상 180도라는 것이죠.